Conoscenza e capacità di comprensione: acquisire le nozioni fondamentali della teoria dei gruppi, con particolare riguardo alla teoria dei gruppi finiti; comprendere le proprietà delle estensioni di campi e la teoria di Galois; conoscere le principali applicazioni della teoria di Galois. Conoscenza e capacità di comprensione applicate: risolvere esercizi sulla teoria dei gruppi e sulla teoria di Galois; analizzare le proprietà di un gruppo dotato di una rappresentazione esplicita o con ordine piccolo; calcolare il gruppo di Galois di un'estensione di un campo; analizzare un'estensione di campo usando la teoria di Galois. Autonomia di giudizio: essere in grado di valutare se un dato problema possa essere affrontata tramite gli strumenti forniti nel corso. Abilità comunicative: presentare in maniera corretta e appropriata definizioni e teoremi della teoria dei gruppi e della teoria di Galois Capacità di apprendere: essere in grado di leggere e comprendere testi sulla teoria dei gruppi e sulla teoria di Galois.

Nozioni elementari su gruppi, campi e ampliamenti di campi.

Teoria dei gruppi: nozioni di base sui gruppi, azioni di gruppi su insiemi e su gruppi, gruppi di permutazioni, Teorema di Cayley, p-gruppi, teoremi di Sylow, prodotti semidiretti, relazione di coniugio in un gruppo, gruppi abeliani finitamente generati, gruppi risolubili, serie derivata e serie di composizione. Teoria di Galois: campi di spezzamento, polinomio derivato, campi perfetti, estensioni normali e separabili, gruppi di Galois, teorema fondamentale della teoria di Galois, costruibilità con riga e compasso, funzioni razionali simmetriche, criterio di Galois per la risolubilità mediante radicali, Teorema di Abel-Ruffini.

M. Suzuki "Group Theory I" - Springer
I.H. Herstein "Algebra" - Editori Riuniti
N. Jacobson "Basic Algebra I" - W.H.Freeman and Company
I. Stewart, "Galois Theory" - Chapman & Hall

Teoria dei gruppi. Riepilogo nozioni preliminari di teoria dei gruppi. Nozioni fondamentali sui gruppi: omomorfismi, sottogruppi, insieme di generatori di un sottogruppo, centralizzanti e normalizzanti di un sottoinsieme, ordine di un gruppo e di un elemento, laterali di un sottogruppo, sottogruppi normali e gruppi quoziente, primo e secondo teorema di isomorfismo e conseguenze. Azioni di gruppi su insiemi e gruppi. Orbite e stabilizzatori. Equazione delle classi. Gruppi di permutazioni. Teorema di Cayley. Relazione di coniugio in un gruppo. Definizione e proprietà dei p-gruppi. Teorema di Sylow e conseguenze. Prodotti semidiretti (interni ed esterni). Gruppi abeliani liberi e loro rango. Sottogruppi dei gruppi abeliani liberi. Teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi risolubili. Serie derivata e serie di composizione. Teorema di Jordan-Holder. Teoria di Galois. Campi di spezzamento. Campi perfetti. Polinomio derivato. Estensioni normali e separabili. Gruppo di Galois. Teorema fondamentale della teoria di Galois. Costruibilità con riga e compasso. Funzioni razionali simmetriche. Criterio di Galois per la risolubilità mediante radicali. Caratterizzazione polinomi irriducibili tramite il gruppo di Galois. Teorema di Abel-Ruffini.

Lezioni frontali alla lavagna riguardanti teoria ed esercizi. La
partecipazione attiva degli studenti è fortemente stimolata.
Regolarmente verranno forniti dei fogli di esercizi.

Appunti del docente, fogli di esercizi e alcuni testi delle prove scritte precedenti saranno disponibili sulla piattaforma MOODLE.

La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi sul modello di quelli svolti a lezione o inseriti nei fogli di esercizi. Un giudizio non inferiore a 16/30 consente di accedere alla prova orale, che deve essere sostenuta nella stessa sessione di esami in cui è stata superata la prova scritta. La consegna di una prova scritta annulla un'eventuale precedente prova scritta. Durante la prova orale, il candidato dovrà essere in grado di spiegare le definizioni e le costruzioni introdotte nel corso e di presentare le dimostrazioni dei teoremi illustrate a lezione. Il voto finale tiene conto delle prove scritta e orale. Per la fruizione di ausili all'esame da parte di studenti e studentesse con disabilità, disturbi specifici dell'appendimento (DSA) o bisogni educativi speciali (BES), si chiede di rivolgersi preventivamente al Servizio Disabilità o al Servizio DSA di Ateneo.