Topologia:

Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente deve dimostrare di avere compreso le nozioni di base della Topologia Generale, dell'omotopia e del gruppo fondamentale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente dovrà sapere applicare le principali tecniche della topologia, sia per risolvere problemi ed esercizi, sia per elaborare soluzioni di carattere topologico anche in ambiti diversi da quello specifico del corso. Ci si aspetta anche che lo studente sviluppi una buona capacità di intuizione sugli spazi di maggior utilizzo in topologia.

Autonomia di giudizio: lo studente deve dimostrare capacità di autovalutazione del livello di conoscenza ed apprendimento degli specifici argomenti previsti dal corso e delle relative applicazioni

Abilità comunicative: lo studente deve essere in grado di comunicare, spiegare e presentare i concetti e i teoremi appresi

Capacità di apprendere: lo studente deve essere in grado di integrare l’apprendimento degli aspetti della topologia oggetto di studio con i contenuti applicativi e teorici di altri Corsi, inclusi quelli della Laurea Magistrale. Ci si aspetta che lo studente sviluppi una buona autonomia utile anche per affrontare lo studio dei testi di riferimento proposti, con capacità di collegamento tra i vari settori della Matematica.

Curve e Superfici:

CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE: conoscere la geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio euclideo tridimensionale.

CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE APPLICATE: risolvere esercizi su curve e superfici regolari nello spazio euclideo tridimensionale; calcolare curvatura, torsione, triedro di Frenet per curve regolari; calcolare le curvature e i coefficienti delle forme fondamentali di una superficie
regolare.

CAPACITA' DI APPRENDERE: essere in grado di leggere e comprendere un testo introduttivo di geometria differenziale delle curve e delle superfici.

ABILITA' COMUNICATIVE: presentare in maniera corretta e appropriata definizioni e teoremi della geometria differenziale di curve e superfici.

Calcolo in una e più variabili. Algebra lineare, geometria affine ed euclidea. Algebra elementare.
Gli esami di Analisi 1 e 2, Algebra 1, Geometria 1 e 2 sono propedeutici.

Topologia:

Topologia generale, omotopia, rivestimenti, gruppo fondamentale.

Curve e Superfici:
Curve regolari in R^3. Formule di Frenet. Superfici regolari in R^3. Prima e seconda forma fondamentale. Curvature principali. Curvatura media e di Gauss. Teorema Egregium di Gauss. Geodetiche.

Topologia:

1) J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.

2) E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2019.

3) I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1967.

4) C. Kosniowski, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009.


Curve e Superfici:

M.P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice- Hall, 1976

M. Abate – F. Tovena: Curve e superfici, Springer Italia, 2006

Topologia generale ed algebrica: topologie e spazi topologici, basi, chiusura, interno e frontiera, punti limite, sottospazi, topologia prodotto, applicazioni continue e omeomorfismi, assiomi di separazione (spazi di Hausdorff, spazi regolari e spazi normali), spazi metrici, assiomi di numerabilità, spazi separabili, connessione e connessione per archi, compattezza e compattezza per successioni, compattificazione di Aleksandrov, spazi metrizzabili compatti.
Omotopia e omotopia di cammini, equivalenza omotopica, rivestimenti, sollevamento di cammini e di omotopie di cammini, gruppo fondamentale, invarianza omotopica e dipendenza dal punto base, gruppo fondamentale della circonferenza, delle sfere, dei tori e degli spazi proiettivi, retrazioni, teorema di non retrazione e teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di Borsuk-Ulam, retrazioni di deformazione. Gruppi liberi e presentazioni di gruppi, teorema di Van Kampen. Calcolo del gruppo fondamentale. Rivestimenti e loro classificazione, il gruppo di automorfismi di un rivestimento, rivestimenti regolari e rivestimento universale.


Curve e superfici:

Curve regolari in R^3. Curve parametrizzate. Vettore tangente. Curve regolari. Retta tangente. Lunghezza d’arco. Parametro lunghezza d’arco. Curve rettificabili. Richiami sul prodotto scalare e vettoriale. Triedro di Frenet. Piano osculatore. Curvatura e torsione. Caratterizzazione delle curve piane tramite la torsione. Formule di Frenet. Forma canonica locale e applicazioni. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve. Caratterizzazione delle curve con curvatura e torsione costanti.

Superfici regolari in R^3. Parametrizzazione di un piano. Parametrizzazioni della sfera: di Monge, in coordinate polari, proiezione stereografica. Definizione del piano tangente e sua caratterizzazione. Ogni superficie è localmente un grafico. Superfici di rotazione. Il toro come superficie di rotazione. Superfici regolari come insiemi di livello. Mappe cambiamento di coordinate. Funzioni differenziabili su superfici a valori reali. Campi di vettori tangenti e normali. Definizione di superficie orientabile. Caratterizzazione delle superfici orientabili tramite l’esistenza di un campo di versori normali. Esempio di superficie non orientabile: il nastro di Mobius. Prima forma fondamentale di una superficie. Coefficienti della prima forma fondamentale. Funzioni differenziabili fra superfici e loro differenziale. Mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss è un endomorfismo simmetrico. Seconda forma fondamentale di una superficie. Coefficienti seconda forma fondamentale. Curvature e direzioni principali. Curvatura gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie. Curvatura normale. Formula di Eulero. Curvature principali come massimo e minimo delle curvature normali. Direzioni asintotiche. Calcolo del differenziale della mappa di Gauss in funzione dei coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale. Proprietà locali dei punti ellittici e iperbolici. Isometrie e isometrie locali. Simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel dipendono solo dai coefficienti della prima forma fondamentale. Formula di Gauss. Teorema Egregium di Guass. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Teorema di Bonnet. Geodetiche. Equazioni delle geodetiche. Superfici rigate. Coni, cilindri e sviluppabili delle tangenti. Superfici sviluppabili e loro caratterizzazione. Superfici minime. Esempio: la catenoide. Caratterizzazione variazionale.

Topologia:

Lezioni frontali ed esercitazioni

Curve e Superfici:

Lezione frontale. Esercizi ed esempi significativi saranno presentati in aula. Saranno distribuiti fogli di esercizi da risolvere a casa.

Per appunti, esercizi e altro materiale didattico si vedano siti dei due moduli su http://moodle2.units.it

Durante il corso sarà organizzata un'attività di tutorato.

Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento.

Sei appelli d'same. La verifica finale di ogni modulo consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale, che vertono su teoria, esercizi e problemi.

Il voto finale dell'esame è la media aritmetica dei voti dei singoli moduli.