Conoscenza e capacità di comprensione: conoscere la geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio euclideo tridimensionale.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate: risolvere esercizi su curve e superfici regolari nello spazio euclideo tridimensionale; calcolare curvatura, torsione, triedro di Frenet per curve regolari; calcolare le curvature e i coefficienti delle forme fondamentali di una superficie regolare.

Capacità di apprendere: essere in grado di leggere e comprendere un testo introduttivo di geometria differenziale delle curve e delle superfici.

Abilità comunicative: presentare in maniera corretta e appropriata definzioni e teoremi della geometria differenziale di curve e superfici.

Calcolo differenziale in una e più variabili. Algebra lineare, geometria affine ed Euclidea. Algebra elementare.

Gli esami di Analisi 1 e 2, Algebra 1, Geometria 1 e 2 sono propedeutici.

Curve regolari in R^3. Formule di Frenet. Superfici regolari in R^3. Prima e seconda forma fondamentale. Curvature pricipali. Curvatura media e di Gauss. Teorema Egregium di Gauss. Geodetiche.

M.P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-
Hall, 1976

M. Abate – F. Tovena: Curve e superfici, Springer Italia, 2006

Curve regolari in R^3:

Curve parametrizzate. Vettore tangente. Curve regolari. Retta tangente. Lunghezza d’arco. Parametro lunghezza d’arco. Curve rettificabili. Richiami sul prodotto scalare e vettoriale. Triedro di Frenet. Piano osculatore. Curvatura e torsione. Caratterizzazione delle curve piane tramite la torsione. Formule di Frenet. Forma canonica locale e applicazioni. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve. Caratterizzazione delle curve con curvatura e torsione costanti.


Superfici regolari in R^3:

Superfici regolari. Parametrizzazione di un piano. Parametrizzazioni della sfera: di Monge, in coordinate polari, proiezione stereografica. Definizione
del piano tangente e sua caratterizzazione. Ogni superficie è localmente un grafico. Superfici di rotazione. Il toro come superficie di rotazione. Superfici regolari come insiemi di livello. Mappe cambiamento di coordinate. Funzioni differenziabili su superfici a valori reali. Campi di vettori tangenti e normali. Definizione di superficie orientabile. Caratterizzazione delle superfici orientabili tramite l’esistenza di un campo di versori normali. Esempio di superficie non orientabile: il nastro di Mobius.

Prima forma fondamentale di una superficie. Coefficienti della prima forma fondamentale. Funzioni differenziabili fra superfici e loro differenziale. Mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss è un endomorfismo simmetrico. Seconda forma fondamentale di una superficie. Coefficienti seconda forma fondamentale. Curvature e direzioni principali. Curvatura gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie. Curvatura normale. Formula di Eulero. Curvature principali come massimo e minimo delle curvature normali. Direzioni asintotiche. Calcolo del differenziale della mappa di Gauss in funzione dei coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale. Proprietà locali dei punti ellittici e iperbolici. Isometrie e isometrie locali. Simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel dipendono solo dai coefficienti della prima forma fondamentale. Formula di Gauss. Teorema Egregium di Guass. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Teorema di Bonnet.
Geodetiche. Equazioni delle geodetiche.
Superfici rigate. Coni, cilindri e sviluppabili delle tangenti. Superfici sviluppabili e loro caratterizzazione. Superfici minime. Esempio: la catenoide. Caratterizzazione variazionale

Lezione frontale e lavoro di gruppo. Esercizi ed esempi significativi saranno presentati in aula o presentati dagli studenti. Saranno distribuiti fogli di esercizi da risolvere a casa. Gli studenti frequentanti avranno l'opportunità di portare avanti dei progetti che faranno parte della valutazione finale.

Gli esercizi proposti saranno disponibili sulla piattaforma TEAMS.

Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero
necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati
all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento,
del Corso di Studio e dell'insegnamento.

Sei appelli di esami, ognuno consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale, che vertono su teoria, esercizi e problemi.

Questo insegnamento approfondisce argomenti strettamente connessi a uno o più obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile delle Nazioni Unite