L'insegnamento ha lo scopo di illustrare le tecniche di base per risolvere numericamente alcuni problemi matematici fondamentali.
D1 - Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del corso lo studente dovrà conoscere ed avere padronanza delle tecniche di base per risolvere problemi in algebra lineare numerica, per approssimare funzioni, per risolvere equazioni nonlineari, per calcolare integrali e per risolvere equazioni differenziali ordinarie. Dovrà anche saper progettare ed implementare i relativi algoritmi di calcolo.
D2 - Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente dovrà essere in grado di affrontare e risolvere esercizi, quesiti e problemi, di carattere sia teorico che computazionale, relativi agli argomenti trattati nel corso.
D3 - Autonomia di giudizio
Lo studente dovrà essere in grado di scegliere opportunamente i metodi numerici che più si adattano ad approssimare le soluzioni di vari problemi matematici che rientrano tra quelli trattati nel corso o a loro strettamente correlati.
D4 - Abilità comunicative
Lo studente dovrà essere in grado di descrivere con un’adeguata proprietà di linguaggio tecniche e problematiche di Analisi Numerica di base.
D5 - Capacità di apprendere
Lo studente dovrà essere in grado di leggere e comprendere libri ed articoli che trattano gli argomenti appresi nel corso ed essere anche in grado di fare degli approfondimenti in maniera autonoma.

Nozioni di base di Geometria, Analisi Matematica e Informatica. Propedeuticità: Geometria 1, Informatica, Analisi 2.

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI E ARITMETICA DI MACCHINA (Rappresentazione dei numeri in una generica base. I numeri di macchina: interi e a virgola mobile. Overflow e underflow. Troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica di macchina.) CONDIZIONAMENTO (Condizionamento delle operazioni elementari. Stabilità dei problemi e degli algoritmi.) L'AMBIENTE DI PROGRAMMAZIONE MATLAB (Comandi ed istruzioni principali.) RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE (Norme di vettori e di matrici. Autovalori, autovettori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Matrici hermitiane e definite positive e loro proprietà.) RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI (Condizionamento dei sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazioni LU e RR^H. Strategie del pivot. Risoluzione dei sistemi lineari sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati.) CALCOLO DI AUTOVALORI E AUTOVETTORI (Teoremi di Gerschgorin. Metodo delle potenze, delle potenze inverse e varianti.) APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI (Spazi di funzioni approssimanti a dimensione finita. Densità degli spazi di polinomi algebrici e di funzioni polinomiali a tratti in C[a,b] ed in L_2[a,b]. Cenni sul problema della miglior approssimazione: esistenza del polinomio generalizzato di miglior approssimazione, unicità nel caso dei polinomi algebrici in C[a,b] ed in L_2[a,b].) INTERPOLAZIONE CON POLINOMI ALGEBRICI (Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Numeri di Lebesgue. Cenni sui polinomi di Cebicev. Convergenza degli schemi interpolatori: teoremi di Faber, di Natanson, di Jackson. Fenomeno di Runge. Formula di Newton alle differenze divise.) RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NONLINEARI (Metodo di bisezione. Metodo delle corde, delle secanti e delle tangenti. Maggiorazioni degli errori e criteri di arresto. Teoria generale dei metodi iterativi. Punti fissi attrattivi e repulsivi. Ordine di convergenza.) FORMULE DI QUADRATURA (Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Cenni sulle formule gaussiane. Formule di Newton-Cotes. Convergenza delle formule di quadratura: teorema generale, teorema di Kusmin per le formule di Newton-Cotes. Formule composite. Formule dei trapezi e di Simpson. Quadratura adattiva.) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE AI VALORI INIZIALI (Richiami sui problemi ai valori iniziali. Condizioni di Lipschitz: classica e unilaterale destra. Teoremi di esistenza e unicità e di dipendenza continua dai dati iniziali. Calcolo delle costanti di Lipschitz per problemi lineari. Metodi di Eulero esplicito e implicito. Concetto di stiffness e confronto tra i due metodi di Eulero applicati a problemi stiff. Metodi a un passo. Ordine di consistenza e di convergenza. Teorema generale di convergenza con passo variabile. Metodi Runge-Kutta con cenni sulle condizioni dell'ordine.)

[1] V. Comincioli: Analisi Numerica, McGraw-Hill, Milano, 1990 (ed edizioni successive) [2] dispense fornite dal docente

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI E ARITMETICA DI MACCHINA (Rappresentazione dei numeri in una generica base. I numeri di macchina: interi e a virgola mobile. Overflow e underflow. Troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica di macchina.) CONDIZIONAMENTO (Condizionamento delle operazioni elementari. Stabilità dei problemi e degli algoritmi.) L'AMBIENTE DI PROGRAMMAZIONE MATLAB (Comandi ed istruzioni principali.) RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE (Norme di vettori e di matrici. Autovalori, autovettori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Matrici hermitiane e definite positive e loro proprietà.) RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI (Condizionamento dei sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazioni LU e RR^H. Strategie del pivot. Risoluzione dei sistemi lineari sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati.) CALCOLO DI AUTOVALORI E AUTOVETTORI (Teoremi di Gerschgorin. Metodo delle potenze, delle potenze inverse e varianti.) APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI (Spazi di funzioni approssimanti a dimensione finita. Densità degli spazi di polinomi algebrici e di funzioni polinomiali a tratti in C[a,b] ed in L_2[a,b]. Cenni sul problema della miglior approssimazione: esistenza del polinomio generalizzato di miglior approssimazione, unicità nel caso dei polinomi algebrici in C[a,b] ed in L_2[a,b].) INTERPOLAZIONE CON POLINOMI ALGEBRICI (Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Numeri di Lebesgue. Cenni sui polinomi di Cebicev. Convergenza degli schemi interpolatori: teoremi di Faber, di Natanson, di Jackson. Fenomeno di Runge. Formula di Newton alle differenze divise.) RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NONLINEARI (Metodo di bisezione. Metodo delle corde, delle secanti e delle tangenti. Maggiorazioni degli errori e criteri di arresto. Teoria generale dei metodi iterativi. Punti fissi attrattivi e repulsivi. Ordine di convergenza.) FORMULE DI QUADRATURA (Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Cenni sulle formule gaussiane. Formule di Newton-Cotes. Convergenza delle formule di quadratura: teorema generale, teorema di Kusmin per le formule di Newton-Cotes. Formule composite. Formule dei trapezi e di Simpson. Quadratura adattiva.) METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE AI VALORI INIZIALI (Richiami sui problemi ai valori iniziali. Condizioni di Lipschitz: classica e unilaterale destra. Teoremi di esistenza e unicità e di dipendenza continua dai dati iniziali. Calcolo delle costanti di Lipschitz per problemi lineari. Metodi di Eulero esplicito e implicito. Concetto di stiffness e confronto tra i due metodi di Eulero applicati a problemi stiff. Metodi a un passo. Ordine di consistenza e di convergenza. Teorema generale di convergenza con passo variabile. Metodi Runge-Kutta con cenni sulle condizioni dell'ordine.)

Lezioni frontali, sia di carattere teorico sia rivolte alla risoluzione di esercizi, comprendenti anche la stesura e l'esecuzione di relativi programmi di calcolo. E’ previsto anche un supporto aggiuntivo di venti ore di attività formativa complementare di laboratorio, dalla frequenza non obbligatoria, rivolto all’approfondimento della programmazione degli algoritmi insegnati durante le lezioni. Durante le esercitazioni frontali viene anche svolta parte degli esercizi proposti nelle prove scritte di esame degli anni precedenti, coinvolgendo a turno gli studenti stessi in prima persona.

Il docente distribuisce le relative dispense alla fine di ciascun argomento. Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento

L’esame finale è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti svolti nel corso e la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi allo svolgimento degli esercizi. Esso è composto da una prova scritta e una prova orale, immediatamente successiva. L’esame scritto, da considerarsi una prova parziale che precede la prova orale, verte sullo svolgimento di tre esercizi. Gli esercizi della prova scritta saranno simili a quelli svolti a lezione e assegnati durante il corso e caratterizzati da un livello di difficoltà piuttosto moderato. La durata della prova scritta è di un'ora circa, e ha più lo scopo di evidenziare, se presenti, eventuali carenze significative nella preparazione dello studente che non quello di certificarne un eventuale livello elevato. L’effettivo livello di preparazione viene misurato nella successiva parte orale. La condizione per l’ammissione alla prova orale è di avere svolto correttamente almeno due esercizi su tre. Alla prova scritta non viene attribuita esplicitamente una valutazione separata. Il voto finale viene comunque determinato tenendo conto sia della parte scritta che della parte orale. Nel corso della prova orale lo studente deve dimostrare di aver compreso e assimilato il materiale facente parte del programma del corso, di avere rielaborato in modo autonomo e critico gli argomenti cogliendone gli aspetti più rilevanti, di essere in grado di esporre con chiarezza e correttezza i risultati appresi. Il punteggio della prova orale è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. Per raggiungere un punteggio di 18/30 lo studente dovrà rispondere con chiarezza e correttezza ai due terzi delle domande formulate, che riguarderanno le definizioni, gli enunciati e le dimostrazione dei teoremi trattati nel corso delle lezioni. Per conseguire il punteggio massimo (30/30 e lode), lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso; rispondere correttamente a tutti i quesiti; dimostrare di aver sviluppato un approccio critico e originale alla materia. Per la fruizione di ausili all'esame da parte di studenti con disabilità, disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) bisogni educativi speciali (BES), si chiede di rivolgersi preventivamente al Servizio Disabilità o al Servizio DSA di Ateneo.