D1. Conoscenza e comprensione: Acquisire le conoscenze e le competenze relative ai risultati di base della teoria della misura, dell'integrazione e degli spazi di Lebesgue.
D2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi ed esercizi.
D3. Autonomia di giudizio: Riconoscere le tecniche di base degli argomenti trattati ai fini della loro applicazione a nuovi problemi anche di natura applicativa. Saper valutare coerenza e correttezza dei risultati ottenuti.
D4. Abilità comunicative: Acquisire la capacità di esprimere i concetti fondamentali i nell'ambito degli argomenti del corso con proprietà di linguaggio ed adeguata esposizione.
D5. Capacità di apprendimento: Essere in grado di consultare autonomamente i testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni.

Calcolo differenziale e integrale su R^n, spazi metrici. Esami propedeutici: Analisi Matematica II.

Teoria della misura. Integrazione. Spazi di funzioni integrabili.

E.H.Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 1997
Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson - Real analysis (1997, Prentice-Hall)
H.L. Royden, Real Analysis, MacMillan, 1968.
An Introductory Course in Lebesgue Spaces, Rene ́ Erl ́ın Castillo • Humberto Rafeiro, Springer, CMS Books in Mathematics.
HALMOS Measure Theory, Springer.
Rudin W. - Real and complex analysis-MGH (1986).
Saks S. - Theory of the integral (1937).
Terence Tao - An Introduction To Measure Theory (January 2011 Draft).

I libri sono acquistabili online e nelle librerie specializzate.

eoria della misura: algebre e sigma-algebre di insiemi. Spazi di misura. Misure finite e sigma-finite. Misure complete, completamento di una misura. Nozione di misura esterna. sigma-algebra degli insiemi misurabili e misura generata dalla misura esterna. Misura esterna di Lebesgue su R^n e misura di Lebesgue. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Teorema di Caratheodory. Misura su una semialgebra. Integrazione. Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura, e convergenza alla Cauchy in misura. Approssimazione in misura di funzioni misurabili su R^n con funzioni a scalino e continue. Teorema di Lusin. Integrale per funzioni semplici e per funzioni nonnegative misurabili. Lemma di Fatou. Teorema della convergenza monotona, sue conseguenze. Integrale di funzioni di segno variabile. Teorema di convergenza dominata e sue conseguenze. Assoluta continuit`a dell’integrale. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Confronto tra integrale di Lebesgue sulla retta, integrale di Riemann e integrali impropri. Spazi Lp. Disuguaglianze di Young, H¨older, Minkowsky. Convergenza in Lp e convergenza in misura. Densità in Lp delle funzioni semplici nulle fuori da insiemi di misura finita. Caratterizzazione duale della norma Lp, varie versioni. Disuguaglianza di Chebishev. Completezza degli spazi Lp (teorema di Riesz-Fisher). Disuguaglianza di Minkowski integrale. Disuguaglianza interpolatoria. Disuguaglianza di Young per convoluzioni, nuclei mollificatori. Approssimazione con funzioni lisce in Lp(Rn).Teorema di Riesz Fisher. Risultati di densità. Convoluzioni. Densità e operatori lineari. Uniforme convessità di L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz. Convergenza debole. Compattezza in L^p. Teorema di Riesz Frechet Kolmogorov.

Lezioni ed esercitazioni frontali. Coinvolgimento attivo degli studenti.
Esercizi da svolgere a casa disponibili sul sito. Esercitazioni e attività di gruppo.

Informazioni dettagliate sul sito MS Teams del corso. Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento."

Esame orale. L'esame orale è finalizzato ad accertare la conoscenza da parte degli studenti degli aspetti teorici (teoremi e loro dimostrazioni) ed applicativi degli argomenti trattati durante il corso.

Istruzione di Qualità