Saper risolvere problemi che portano a sistemi dinamici.

CONOSCENZA E CAPACITA` DI COMPRENSIONE
Al termine del corso lo studente conoscerà i fondamenti della teoria dei
sistemi dinamici. Lo studente saprà anche risolvere semplici esercizi.

CAPACITA` DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Al termine del corso saprà applicare le conoscenze di
analisi dei sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie per
affrontare problemi di media difficoltà, utilizzando tecniche rigorose e
analisi qualitativa.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Al termine del corso lo studente saprà riconoscere e applicare le tecniche
per risolvere equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici.

ABILITA` COMUNICATIVE
Alla fine del corso lo studente saprà esprimersi in modo appropriato sui
temi principali della teoria dei sistemi dinamici, con proprietà
di linguaggio e sicurezza di esposizione.

CAPACITA` DI APPRENDIMENTO
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di consultare testi di
livello medio sulla teoria dei sistemi dinamici.

Analisi-Geometria-Fisica 1-Meccanica analitica

Introduzione ai sistemi dinamici. Sistemi dinamici continui unidimensionali. Biforcazioni. Sistemi dinamici discreti unidimensionali. Mappe scalari lineari e mappa logistica. Sistemi dinamici continui lineari Sistemi dinamici non lineari. Teoria della stabilità. Sistemi dinamici gradiente. Sistemi dinamici hamiltoniani. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno e teoria ergodica. Insiemi invarianti. Teorema di Hartman-Grobman e linearizzazione. Varietà invarianti. Sistemi piani non lineari, teorema di Poincaré-Bendixon. Cenni alla dinamica caotica Argomenti avanzati.

Dispense del docente [MJ] - James D. Meiss, "Differential Dynamical Systems", SIAM, 2007 [W] - Wiggins S. "Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos" Springer 2003 [PS2]- C. D. Pagani, S. Salsa, “Analisi Matematica2, vol 1, 2, Masson, 1993 [M]- J. D. Murray, “Mathematical Biology”, vol 1, Springer, 2003 [H-K]- J. Hale, H. Koçac, “Dynamics and bifurcations”, Springer-Verlag, 1991 [H-S]- M. W. Hirsch, S. Smale, “Differential equations, dynamical systems and linear algebra”, Academic press N.Y. 1974 [H-S-D]- M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney, “Differential equations, Dynamical systems and an introduction to chaos”, Academic Press N.Y., 2004 [P]- L. Perko, “Differential equations and dynamical systems”, SpringerVerlag, 1991 [S]- S. Strogatz, “Nonlinear dynamics and chaos”, Westview, 1994 Dispense in rete: [B]-G.Benettin , Introduzione ai sistemi dinamici per la Scuola Galileiana A.A. 2011-12 http://www.math.unipd.it/~benettin/ [GE]- G. Gentile, “Introduzione ai sistemi dinamici” http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2010-2011/testo/ Divulgativi I. Peterson, “Newton’s clock, Chaos in the solar system”, W. H. Freeman and Company, 1993

Introduzione ai sistemi dinamici. Esempi e analisi qualitativa. Elementi di geometria differenziale: varietà differenziabili, spazio tangente, campi vettoriali e flussi. Richiami sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Sistemi dinamici continui unidimensionali. Punti di equilibrio e stabilità, diagramma di fase. Esempi. Sistemi dinamici dipendenti da un parametro e biforcazioni.

Sistemi dinamici discreti. Punti di equilibrio, stabilità e biforcazioni. Esempi. La mappa logistica. Mappe coniugate. Sistemi caotici. Dinamica Simbolica.

Sistemi dinamici lineari. Richiami di algebra lineare. Il caso planare. Esponenziale di una matrice e soluzione generale. Stabilità per sistemi lineari.

Sistemi dinamici non-lineari. Insiemi omega limite. Teoria della stabilità. Sistemi dinamici gradiente.

Sistemi dinamici hamiltoniani. Dinamica di Poisson. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno e teoria ergodica.

Coniugazione topologica. Teorema di Hartman-Grobman. Varietà invarianti.

Sistemi dinamici planari. Indice di Poincaré. Teorema di Poincaré-Bendixon e applicazioni.

Elementi di teoria del caos. Il sistema di Lorenz, frattali e attrattori strani.

Argomenti avanzati.

Lezioni frontali e esercizi svolti in classe. Esercizi da fare a casa.

Il corso farà uso delle piattaforme Moodle e MSTeams

Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento

l'esame consiste in un colloquio orale che copre tutti gli aspetti del corso sia teorici che applicativi.
Tipicamente un semplice esercizio e una domanda di teoria.