Conoscenza e Comprensione:

Comprendere i concetti di integrali generalizzati, limiti superiori e inferiori delle successioni e serie numeriche.
Conoscere le basi della topologia negli spazi metrici, normati e dotati di prodotto scalare.
Comprendere le proprietà delle funzioni continue e uniformemente continue negli spazi metrici.
Apprendere il calcolo differenziale per funzioni di più variabili e le sue applicazioni, inclusi i teoremi di Schwartz, Taylor, e della funzione implicita.

Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione:

Applicare tecniche di calcolo per risolvere problemi riguardanti successioni e serie.
Utilizzare concetti topologici per analizzare proprietà di spazi metrici e normati.
Risolvere problemi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili, incluso l'uso di derivate direzionali e differenziabilità.

Autonomia di Giudizio:

Valutare criticamente le proprietà di convergenza di successioni e serie.
Analizzare la regolarità delle funzioni e il comportamento dei loro coefficienti di Fourier.

Abilità Comunicative:

Articolare chiaramente concetti matematici complessi sia in forma scritta che orale.
Collaborare efficacemente in gruppi per risolvere problemi matematici avanzati.

Capacità di Apprendimento:

Sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, cercando ulteriori risorse per approfondire la comprensione del materiale del corso.
Migliorare le abilità di problem-solving attraverso la pratica continua e l'applicazione dei concetti teorici a scenari pratici.

Calcolo differenziale e integrale in una
variabile.
Propedeuticità: per accedere alla prova orale di Analisi 2 è necessario aver superato l'esame di Analisi 1.

Integrali generalizzati.
Approfondimenti sulle successioni: definizione di massimo e minimo
limite di una successione, proprietà caratteristiche e definizioni equivalenti.
Serie numeriche: definizione di serie. Serie geometrica, di Mengoli, armonica. Criterio di Cauchy per le serie, criterio necessario di
convergenza. Criteri per le serie a termini positivi: teorema del confronto,
del rapporto, della radice, della condensazione, dell'integrale. Criterio
dell'ordine di infinitesimo. Serie semplicemente ed assolutamente
convergenti. Criterio di Leibniz. Operazioni con le serie, proprietà associativa e commutativa. Teorema di Riemann.
Spazi metrici, normati, dotati di prodotto scalare: nozioni di base ed esempi. Compattezza per successioni e sua caratterizzazione negli spazi metrici e negli spazi euclidei.
Continuità di funzioni in spazi metrici. Uniforme continuità: definizione di funzione uniformemente continua, esempi e
controesempi. Proprietà delle funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor.
Principio delle contrazioni. Insiemi connessi e connessi per archi e per poligonali. Connessione e continuità.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Derivate parziali e differenziabilità. Teorema del differenziale totale e funzioni di classe Ck. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Massimi e minimi liberi. Differenziabilità di funzioni composte ed applicazioni. Teorema della funzione implicita. Moltiplicatori di Lagrange.
Successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale.
Teoremi della continuità, della derivata e dell'integrale per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Fourier.

E. Giusti, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri, Torino.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri, Torino.
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, Volume 1, Masson, Milano.
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, Volume 2, Masson, Milano.
E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi matematica, Volumi 1 e 2,
Bollati Boringhieri, Torino.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica volume primo,
parte seconda, volume secondo parte prima e volume secondo, parte seconda, Liguori, Napoli.

Integrali Generalizzati

Definizione e proprietà delle funzioni R-integrabili.
Funzioni integrabili in senso generalizzato in domini illimitati e integrali divergenti.

Limiti Superiori e Inferiori

Definizione e proprietà dei limiti superiori e inferiori delle successioni.
Esempi e applicazioni.

Serie Numeriche

Definizione di serie, serie a termini positivi e a termini di segno misto.
Criteri di convergenza e divergenza: criterio del confronto, del rapporto, della radice, dell'integrale, e della serie condensata di Cantor.
Serie geometriche, armoniche e di Mengoli.

Topologia in Spazi di Funzioni

Spazi metrici, normati e dotati di prodotto scalare.
Compattezza e continuità di funzioni in spazi metrici.

Funzioni Continue

Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine-Cantor.
Principio delle contrazioni e connessione degli insiemi.

Calcolo Differenziale per Funzioni di Più Variabili

Derivate direzionali e differenziabilità.
Derivate di ordine superiore, teorema di Schwartz e formula di Taylor.
Funzione implicita ed invertibilità locale, teorema di Dini.
Massimi e minimi per funzioni di più variabili, estremi vincolati, e moltiplicatori di Lagrange.

Successioni e Serie di Funzioni

Convergenza puntuale, uniforme e totale.
Teoremi della continuità, della derivata e dell'integrale per successioni e serie di funzioni.
Serie di potenze, serie di Taylor e serie di Fourier.

Lezioni frontali alla lavagna che consistono nell'esposizione dei contenuti
teorici e nell'esecuzione di un congruo numero di esercizi. La
partecipazione attiva degli studenti è fortemente stimolata, in particolare
nella risoluzione degli esercizi proposti.

Prova scritta
Prova orale facoltativa per chi ottiene un punteggio di 24/30 o superiore nella prova scritta.
Nota: l'accettazione del solo punteggio della prova scritta limita il punteggio massimo a 27/30.